Suku Banyak: Pengertian, Operasi Aljabar, Pembagian, Kesamaan, dan Contoh Soalnya

Materi mengenai suku banyak termasuk topik yang dijumpai pada mata pelajaran Matematika untuk kelas XI. Apabila Sobat Pijar sedang mempelajari materi tersebut, maka ulasan ini sangat tepat untuk kamu.

Untuk memudahkan kamu saat belajar, pembahasan ini akan dibagi menjadi beberapa sub bahasan. Sub bahasan tersebut mencakup pengertian, operasi aljabar, pembagian, kesamaan, dan contoh soal suku banyak. Maka dari itu, simaklah uraian di bawah ini.

Baca juga: Integral Tentu: Pengertian, Rumus, Sifat, & Contoh Soalnya

Pengertian Suku Banyak

Suku banyak sering juga disebut sebagai polinomial. Suku banyak adalah sebuah bentuk aljabar yang terdiri dari beberapa suku serta mengandung satu variabel berpangkat bulat positif.

Bentuk umum suku banyak dapat dituliskan seperti ini:

$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0$

Keterangan

n = bilangan bulat positif an ≠ 0

$a_n , a_{n-1} , a_{n-2} , ... , a_2 , a_1$ = koefisien suku banyak

$a_0$ = nilai suku banyak berupa bilangan real dan merupakan suku tetap (konstanta)

Derajat suatu suku banyak dalam 𝑥 adalah pangkat tertinggi dari 𝑥 dalam suku banyak tersebut.

Operasi Aljabar pada Suku Banyak

Sama halnya dengan bilangan real, sifat-sifat operasi yang berlaku pada bilangan real juga dapat diterapkan pada operasi suku banyak. Hal ini karena suku banyak pada dasarnya memuat variabel yang merupakan bilangan real.

Hanya saja, nilai dari bilangan tersebut belum diketahui. Sifat-sifat operasi yang berlaku untuk suku banyak yakni sifat distributif, komutatif, dan asosiatif. Rinciannya dapat kamu simak pada penjelasan berikut ini ya, Sobat Pijar!

Penjumlahan Suku Banyak

Operasi penjumlahan suku banyak tidak terlalu berbeda dengan operasi penjumlahan pada bilangan real. Caranya yaitu dengan menjumlahkan antar koefisien suku-suku yang sejenis.

Maksud dari suku-suku yang sejenis adalah suku-suku yang memiliki variabel dengan pangkat sama. Sobat Pijar bisa memahaminya lebih dalam dengan memperhatikan contoh soal yang akan disajikan di bagian selanjutnya. Jadi, simak ulasan ini sampai habis, ya.

Pengurangan Suku Banyak

Serupa dengan operasi penjumlahan, operasi pengurangan pun menerapkan konsep mengurangkan antar koefisien suku-suku yang sejenis.

Oleh karena itu, dalam operasi pengurangan suku banyak sangat penting untuk memperhatikan variabel yang berpangkat sama. Sebab, variabel inilah yang bisa dikurangkan.

Perkalian Suku Banyak

Terdapat metode yang mempermudah perkalian suku banyak, yaitu dengan menerapkan sifat distributif. Bentuk umumnya seperti ini:

$g(x) . h(x) = (ax^2 + bx^2 + cx + d) (ix^3 + jx^3 + kx + l)$

$= aix^6 + (aj + bi)x^5 + (ak + bj + ci)x^4 + (al + bk + cj + di)x^2 + (cl + dg)x + dl$

Selain bentuk di atas berlaku pula bentuk perkalian berupa: $x^m . x^n = x^{m+n}$

Pembagian Suku Banyak

Konsep pembagian suku banyak dapat menerapkan konsep pembagian bilangan bulat yang tidak habis atau menyisakan bilangan tertentu. Misalnya bilangan bulat 257 dibagi dengan 3 menghasilkan 85 dan menyisakan 2.

Maka, pembagian itu bentuknya dapat dituliskan seperti ini:

$257=(3 × 85)+2$

Atau, secara umum dapat dituliskan dalam bentuk:

$Bilangan \space yang \space dibagi = (pembagi \times hasil \space bagi) + sisa$

Pada suku banyak, misalnya suku banyak berbentuk $f(x)$, kemudian pembaginya $p(x)$ dan didapatkan hasil $h(x)$ serta menyisakan sisa $s(x)$. Bentuk umumnya begini:

$f(x) = p(x) \times h(x) + s(x)$

Ada tiga yang bisa dilakukan dalam pembagian suku banyak. Cara tersebut yaitu skema horner, teorema faktor, dan teorema sisa. Pembahasan setiap caranya yaitu sebagai berikut.

Skema Horner

Cara ini sering juga disebut sebagai cara sintetik. Metodenya mirip dengan penentuan nilai suku banyak, yaitu mendaftar dan menyusun koefisien suku banyak dari pangkat tertinggi. Rinciannya dapat diperhatikan pada gambar di bawah ini.

Selanjutnya hasil bagi dan sisa pembagian $f(x)$ oleh $(3x+1)$ adalah:

Hasil Bagi:

$\frac{h(x)}{a} = \frac{3x^3 - 6x^2 + 9x + 2}{3} = x^3 - 2x^2 + 3x + \frac{2}{3}$

Sisa Pembagian:

$s = f(-\frac{1}{3}) = 1\frac{1}{3}$

Sehingga dapat ditulis:

$(3x^4 - 5x^3 + 7x^2 + 5x + 2) = (3x + 1) (x^3 - 2x^2 + 3x + \frac{2}{3}) + 1\frac{1}{3}$

Teorema Faktor

Pembagian suku banyak dengan cara teorema faktor yaitu memanfaatkan faktor-faktor dari suku banyak, sehingga menyisakan sisa 0.

Permisalannya begini, faktor-faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, dan 8. Bilangan 4 adalah faktor dari 8, sehingga 8 dapat dibagi habis oleh 4 dan tidak menyisakan bilangan lain (sisanya = 0).

Contohnya yaitu (x - 1) adalah faktor dari $f(x) = x^2 - 7x + 6$. karena pembagian $f(x) = x^2 - 7x + 6$ oleh (x -1) memberikan sisa 0. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut:

$\frac{x^2 - 7x + 6}{(x - 1)} = (x - 6) + 0$

$x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6) + 0$ dimana 0 adalah sisa.

Misalkan suku banyak f(x) dibagi oleh (x-k) memberikan hasil bagi h(x) dan sisa s(x). Jika (x-k) merupakan faktor dari suku banyak f(x), maka pembagian f(x) oleh (x-k) tindak memberikan sisa atau s(x)=0. 

Secara umum, dapat disimpulkan bahwa jika (x-k) merupakan faktor dari suku banyak f(x), maka dapat dinyatakan dalam persamaan:

$f(x) = (x - k) . h(x)$

Teorema Sisa

Teorema sisa dibedakan menjadi 3 jenis berdasarkan bentuk pembaginya. Jenis-jenis teorema sisa yaitu:

1. Teorema sisa untuk pembagi bentuk linear (x-k)

Bentuk persamaannya yaitu seperti ini:

$f(x) = (x - k) . h (x) + s(x)$

$s(x)$ merupakan sisa pembagian dan maksimum berderajat nol, yakni berupa sebuah konstanta.

2. Teorema sisa untuk pembagi bentuk linear (ax+b)

Sisa pembagian $s(x)$ ditentukan memakai teorema berikut: jika suku banyak $s(x)$ memiliki derajat n, kemudian dibagi dengan $(ax+b)$, alhasil sisa pembagian $s(x)$ yaitu:

$s(x) = f(-\frac{b}{a})$

3. Teorema sisa untuk pembagi bentuk (x-a)(x-b)

Pada dasarnya, teorema ini adalah menerapkan pembagian dengan cara bersusun. Bentuk hubungannya apabila ditulis yaitu seperti ini:

$f(x) = (x - a)(x-b) h(x) + (px + q)$

Kesamaan Suku Banyak

Kesamaan suku banyak atau kesamaan polinomial adalah kondisi di mana kedua suku banyak memiliki nilai variabel x yang sama. Misal, suku banyak $f(x)$ memiliki kesamaan dengan $g(x)$, maka: $f(𝒙) ≡ 𝒈(𝒙)$

Pada kesamaan suku banyak juga dikenal istilah teorema vieta.

Teorema Vieta

Teorema vieta adalah teorema yang dipakai untuk menguraikan hasil kali akar serta rumus jumlah akar persamaan suku banyak berderajat n. Selanjutnya, teorema vieta dibedakan lagi bentuknya menjadi persamaan kuadrat, kubik, kuartik, dan kuintik.

Persamaan suku banyak yang memiliki akar-akar real paling banyak sejumlah n buah. Jika $x_1, x_2, x_3, ... x_n$ adalah akar-akar dari persamaan tersebut, maka hubungan antara akar-akarnya yaitu sebagai berikut.

$f(x) = ax^2 + bx + c$

akar-akanya $x_1$ dan $x_2$

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 . x_2 = \frac{c}{a}$

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

akar-akarnya $x_1, x_2, dan \space x_3$

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$

$x_1 . x_2 + x_1 . x_3 + x_2 . x_3 = \frac{c}{a}$

$x_1 . x_2 . x_3 = -\frac{d}{a}$

$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$

akar-akatnya $x_1, x_2, x_3, dan \space x_4$

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}$

$x_1 . x_2 + x_1 . x_3 + ... + x_3 . x_4 = \frac{c}{a}$

$x_1 . x_2 . x_3 + ... + x_2 . x_3 . x_4 = -\frac{d}{a}$

$x_1 . x_2 . x_3 . x_4 = \frac{e}{a}$

Contoh Soal Suku Banyak

Kamu sudah mempelajari teori-teori yang berkaitan dengan suku banyak. Supaya teori tersebut bisa benar-benar dibuktikan, maka perlu mengerjakan latihan soal.

Kali ini akan disajikan contoh soal suku banyak yang bisa Sobat Pijar kerjakan untuk mengukur tingkat pemahaman terkait materi suku banyak.

Disajikan pula pembahasannya sehingga bisa diketahui apakah jawabannya sudah benar atau belum.

1. $f(x) = 5x^3 - 7x^2 + 6x + 9$

$g(x) = 11x^2 + 12x - 8$

Hasil penjumlahan polinomial f(x) dan g(x) adalah…

Pembahasan:

Diketahui:

$f(x) = 5x^3 - 7x^2 + 6x + 9$

$g(x) = 11x^2 + 12x - 8$

Penjumlahan f(x) dan g(x) dapat dituliskan sebagai berikut.

$f(x) + g(x) = (5x^3 = 7x^2 + 6x + 9) + (11x^2 + 12x - 8)$

$f(x) + g(x) = 5x^3 + (-7x^2 + 11x^2) + (6x + 12x) + (9 - 8)$

$f(x) + g (x) = 5x^3 + (-7 + 11)x^2 + (6 + 12)x + 1$

$f(x) + g(x) = 5x^3 + 4x^2 + 18x + 1$

2. Diketahui polinomial:

$g(y) = 10y^3 + 7y^2 - 4y - 2$

$h(y) = 5y^3 - 2y + 3$

Hasil pengurangan polinomial $g(y)$ dan $h(y)$ adalah….

Pembahasan

Diketahui:

$g(y) = 10y^3 + 7y^2 - 4y - 2$

$h(y) = 5y^3 - 2y + 3$

Pengurangan g(y) dan h(y)dapat dituliskan sebagai berikut.

$g(y) - h(y) = (10y^3 + 7y^2 - 4y - 2) - (5y^3 - 2y + 3)$

$g(y) - h(y) = (10y^3 - 5y^3) + 7y^2 + (-4y + 2y) + (-2 -3)$

$g(y) - h(y) = (10 - 5)y^3 + 7y^2 + (-4 +2)y + (-5)$

$g(y) - h(y) = 5y^3 + 7y^2 - 2y - 5$

Coba kerjakan berbagai latihan soal suku banyak dan soal-soal matematika lainnya di Pijar Belajar, yuk. Caranya gampang banget, kamu tinggal klik banner di bawah ini aja, lho. Yuk, belajar bareng Pijar Belajar!

___________________________________________________________________

Baca juga: Integral Tak Tentu: Pengertian, Rumus, Sifat, & Contoh Soalnya

Demikian pembahasan mengenai suku banyak dan operasi-operasi serta teorema yang berkaitan dengannya. Semoga ulasan di atas bisa membantumu untuk lebih memahami tentang materi suku banyak, ya. Jangan lupa untuk senantiasa berlatih agar bisa menggunakan rumus yang sudah diuraikan.

Jika kamu sedang mencari tempat belajar materi suku banyak, Pijar Belajar bisa membantumu, lho! Pijar Belajar adalah aplikasi penyedia konten pelajaran dari kelas 1 SD hingga 12 SMA yang bisa kamu akses mulai dari 10 ribuan saja!

Yuk, unduh aplikasi Pijar Belajar sekarang juga!