Vektor Matematika: Definisi, Notasi, Jenis, Operasi, dan Contoh Soalnya

Sobat Pijar pasti sering menggunakan GPS kan? Tapi tahu gak sih kalau penggunaan GPS adalah salah satu bentuk pemanfaatan vektor matematika dalam kehidupan sehari-hari? 

Sebenarnya, konsep vektor tidak hanya ada dalam ilmu matematika saja. Kamu juga bisa menemukan konsep ini dalam ilmu fisika dan ilmu lainnya. Namun kali ini, kita akan membahas vektor matematika kelas 10 secara khusus. 

Daripada penasaran, lanjutkan membaca artikel ini sampai habis ya, Sobat Pijar!

Baca juga: Konsep Nilai Mutlak: Pengertian, Sifat, Grafik Fungsi, dan Contoh Soalnya

Apa Itu Vektor

Dalam matematika, vektor didefinisikan sebagai ruas garis berarah yang memiliki besaran nilai dan arah tertentu. Sehingga, vektor matematika juga bisa digambarkan secara geometris. Yaitu dalam bentuk ruas garis yang memiliki arah. Panjang ruas garis menyatakan besaran vektor dan arah ruas garis menyatakan arah vektor.

Sebagai gambaran, perhatikan gambar berikut ini:

Gambar tersebut adalah salah satu cara untuk menggambarkan vektor matematika. Dari gambar tersebut, kamu bisa mengetahui kalau b=d. Meskipun secara letak berbeda, b memiliki panjang dan arah yang sama dengan d.

Notasi Vektor

Contoh soal vektor biasanya dilambangkan dengan menambahkan tanda panah di atas huruf kecil. Namun, ada beberapa cara untuk menuliskan vektor matematika. Yang terpenting, penulisan notasi vektor yang benar adalah yang mengikuti ketentuan notasi vektor. 

Ada empat ketentuan yang dapat kamu gunakan untuk menotasikan vektor dalam matematika, yaitu:

1. Menggunakan satu huruf kecil bercetak tebal. Contohnya: $u, v, w$

2. Menggunakan satu huruf kecil dengan garis bawah. Contohnya: $\underline{u},\underline{v}, \underline{w}$

3. Menggunakan satu huruf kecil dengan tanda panah di atasnya. Contohnya: u, v, w$\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}$

4. Menggunakan 2 huruf kapital untuk menunjukkan ruas garis berarah. Contoh: ruas garis dari titik A ke titik B dapat dilambangkan dengan $\overrightarrow{AB}$ atau sebaliknya.

Jenis Jenis Vektor

Setelah mengetahui apa itu vektor matematika dan cara menuliskan notasi vektor, selanjutnya kamu perlu mengetahui jenis-jenis vektor dalam matematika. 

Secara umum, vektor matematika terbagi menjadi 4 jenis. Yaitu vektor nol, vektor posisi, vektor satuan, dan vektor basis.

Vektor Nol

Vektor nol didefinisikan sebagai jenis vektor yang memiliki panjang nol serta tidak memiliki arah vektor yang jelas. 

Gambar vektor nol dapat dinotasikan menggunakan angka nol dengan tanda panah di atasnya. Sehingga, lambang vektor nol atau rumus vektor nol dapat dituliskan seperti ini: $\overrightarrow{0}$

Vektor Posisi

Vektor posisi rumus merupakan vektor yang memiliki titik awal di posisi O. 

Yaitu posisi (0,0) dalam grafik. Sedangkan posisi titik ujungnya berada di titik A ($a_{1},a_{2}$ ) atau titik tertentu selain titik O.

Vektor Satuan

Vektor satuan merupakan vektor yang memiliki panjang satu satuan. Sehingga, vektor satuan biasanya dituliskan dengan menggunakan vektor satuan rumus berikut ini:

Vektor Basis

Vektor basis disebut juga vektor satuan tegak lurus yang memiliki panjang satu satuan, namun arahnya searah dengan sumbu koordinat. Dalam vektor ruang R2 atau dua dimensi, terdapat dua vektor basis. Yaitu vektor basis yang searah sumbu $x$ yaitu $\overrightarrow{i}$ =$(1,0 )$ dan vektor basis yang searah sumbu $y$ yaitu $\overrightarrow{j} = (0,1)$.

Sedangkan pada vektor matematika tiga dimensi atau R3, terdapat 3 vektor basis. Yaitu vektor yang searah sumbu x, y, dan z. Atau vektor $\overrightarrow{I} = (1,0,0), \overrightarrow{J} = (0,1,0), \overrightarrow{K} = (0,0,1),$ .

Operasi Vektor Matematika

Pada dasarnya, vektor matematika merupakan bagian dari geometri. Karena itu, materi tentang vektor bisa berlaku dalam sebuah gambar dua dimensi (R2) ataupun bangun ruang (R3). 

Saat diaplikasikan dalam gambar dua dimensi, maka penulisan vektor matematika dinyatakan dalam dua sumbu koordinat. Yaitu sumbu x dan sumbu y. Sedangkan saat diaplikasikan dalam banguan ruang tiga dimensi (R3), maka vektor matematika dinyatakan dan 3 sumbu koordinat. Yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z.

Dengan memahami vektor adalah bagian dari geometri, maka akan lebih mudah bagi kamu untuk memahami operasi vektor matematika yang akan kita bahas ini.

Pada dasarnya, operasi vektor matematika tidak jauh berbeda dengan operasi aljabar. Jadi, kalau kamu sudah memahami operasi aljabar, operasi vektor akan terasa lebih mudah. Secara umum, operasi dalam vektor matematika terbagi menjadi beberapa jenis. Yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian vektor dengan skalar, dan perkalian dua vektor.

Penjumlahan Vektor

Untuk melakukan operasi penjumlahan vektor, kamu bisa menggunakan salah satu dari dua cara. Yaitu penjumlahan vektor dengan metode segitiga dan penjumlahan vektor dengan metode jajargenjang. Agar lebih jelas, perhatikan infografis berikut ini:

Akan tetapi, jika menggunakan rumus aljabar, pada dasarnya penjumlahan vektor hanyalah penjumlahan dari koordinat titik pusar vektor dengan titik ujungnya. Sehingga, rumus penjumlahan vektor juga dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut ini:

Pengurangan Vektor

Pada dasarnya, operasi pengurangan vektor matematika sama dengan operasi penjumlahan vektor. Namun, perbedaannya ada pada arah vektor secara geometri. Dalam pengurangan vektor secara geometri, salah satu vektor memiliki arah yang berlawanan. Sehingga, vektor tersebut memiliki nilai negatif.

Secara aljabar, operasi pengurangan vektor dilakukan dengan mengurangi titik-titik pada koordinat vektornya.

Perkalian Vektor

Operasi perkalian vektor matematika terbagi menjadi dua jenis. Yaitu perkalian vektor dengan skalar dan perkalian dua vektor. 

1. Perkalian vektor dengan skalar

Skalar merupakan nilai yang tidak memiliki arah. Biasanya, skalar dituliskan sebagai k. Sehingga, perkalian skalar dengan vektor dapat dituliskan sebagai $\overrightarrow{ku}$. Hasil perkalian skalar dengan vektor nantinya akan menghasilkan vektor yang diperpanjang sebanyak k kali dari panjang vektor awalnya.

Secara geometri, perkalian vektor matematika dengan skalar dapat menghasilkan beberapa kemungkinan. Di antaranya adalah sebagai berikut:

1. Jika $k>1$, maka $\overrightarrow{ka}$ searah dengan $\overrightarrow{a}$ dan diperpanjang.

2. Jika $k=1$, maka $\overrightarrow{ka}$ sama dengan $\overrightarrow{a}$.

3. Jika $0<k<1$, maka $\overrightarrow{ka}$ searah dengan $\overrightarrow{a}$ dan diperpendek.

4. Jika $-1<k<0$, maka $\overrightarrow{ka}$ berlawanan arah dengan $\overrightarrow{a}$ dan diperpendek.

5. Jika $k=-1$, maka $\overrightarrow{ka}$ berlawanan arah dengan $\overrightarrow{a}$ dan panjangnya sama.

6. Jika $k<-1$, maka $\overrightarrow{ka}$ berlawanan arah dengan $\overrightarrow{a}$ dan diperpanjang.

Jika digambarkan, maka ilustrasi dari perkalian vektor matematika dengan skalar adalah sebagai berikut:

Sedangkan secara aljabar, perkalian vektor matematika dengan skalar merupakan hasil perkalian semua unsur vektor dengan skalarnya. Sebagai contoh, jika $\overrightarrow{a}$ = (a1, a2) dan $\overrightarrow{b}$ = (b1, b2), maka $\overrightarrow{ka}$ = (ka1, ka2) dan $\overrightarrow{kb}$ = (kb1, kb2).

2. Perkalian Dua Vektor

Di bagian sebelumnya, kita sudah membahas kalau vektor matematika dapat disajikan dalam bentuk aljabar dan geometri. Sehingga, dalam banyak kondisi, bentuk geometri suatu vektor akan membentuk sudut dengan besaran tertentu. Nah, untuk mengetahui besar sudut ini, kamu bisa menggunakan perkalian dua vektor atau perkalian vektor dot.

Sebagai gambaran, perhatikan ilustrasi perkalian dua vektor berikut ini:

Dari ilustrasi diatas, definisi perkalian dua vektor matematika secara geometri menjauh dari sudut yang terbentuk. Jika dijelaskan, maka penjelasan perkalian dua vektor secara geometri dapat dijabarkan seperti ini: Jika terdapat $\overrightarrow{a}$ = (a1, a2, a3) dan $\overrightarrow{a}$ = (b1, b2, b3) yang membentuk sudut sebesar $\theta$ , maka berlaku rumus perkalian berikut ini:

Sedangkan secara aljabar, perkalian dua vektor matematika melibatkan unsur-unsur vektornya. Sehingga, rumusnya menjadi seperti ini:

Hasil dari perkalian dua vektor ini menghasilkan skalar. Selain itu, rumus perkalian dua vektor ini tidak hanya berlaku untuk vektor matematika dimensi tiga atau bangun ruang saja. Kamu juga bisa menggunakan rumus yang sama untuk menghitung perkalian dua vektor untuk vektor matematika dimensi dua.

Contoh Soal Vektor

Supaya lebih paham, kamu bisa menyimak contoh soal vektor matematika dan penyelesaiannya kelas 10 berikut ini:

Contoh Soal 1

Jika diketahui vektor $\overrightarrow{p}$ dan vektor $\overrightarrow{q}$ membentuk sudut 60°, dengan $\overrightarrow{|p|} = 6$, $\overrightarrow{|q|} = 5$, maka tentukan nilai vektor $\overrightarrow{p}.\overrightarrow{q}$!

Pembahasan:

Jika terdapat perkalian dua vektor matematika, maka berlaku rumus berikut.

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|}.\overrightarrow{|b|}\cos\theta$ atau $\overrightarrow{p}.\overrightarrow{q} = \overrightarrow{|p|}.\overrightarrow{|q|}\cos\theta$

$= 6.5\cos 60$

$= 30.\frac{1}{2}$

$=15$

Contoh Soal 2

Diketahui $\overrightarrow{p} = (3x-3,1-x,2x-2)$ dan  $\overrightarrow{q} = (3,-1,2)$. Jika $\overrightarrow{p}$ kelipatan dari $\overrightarrow{q}$, searah dan diperpanjang, tentukan interval nilai $x$ dimana $x$ adalah skalar bilangan real!

Pembahasan:

*) karena $\overrightarrow{p}$ merupakan kelipatan dari  $\overrightarrow{q}$, maka dapat ditulis  $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{kq}$. Sehingga, $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{kq}$

*) ubah bentuk masing-masing menjadi $(x – 1)$, maka

$\overrightarrow{p} = \overrightarrow{kq}$

$((x-1).3, (x-1) . (-1) , (x-1.)2)=k(3,-1,2)$

$(x-1)(3,-1,2);=k(3,-1,2)$

$(x-1)=k$ atau $k=(x-1)$

*) syarat searah dan diperpanjang adalah $k>1$. Sehingga, $k>1 → x-1>1 → x>2$. Jadi, interval yang memenuhi adalah $x>2$.

Gimana? Sudah semakin paham dengan materi vektor ini? Yuk, coba kerjakan berbagai latihan soal lainnya di Aplikasi Pijar Belajar! Pijar Belajar punya berbagai latihan soal lainnya yang bisa kamu pakai untuk bahan belajar. Klik banner di bawah ini untuk mulai mengakses latihan soal lainnya!

__________________________________________________________________

Baca juga: Materi Logaritma: Definisi, Rumus, Sifat, dan Contoh Soalnya 

Nah, itulah beberapa hal yang perlu Sobat Pijar ketahui tentang vektor matematika. Setelah mempelajari vektor dengan baik, kamu akan menyadari kalau materi vektor ternyata tidak terlalu sulit, kan? Supaya pemahaman materi tentang vektor ini lebih bisa kamu kuasai, jangan lupa untuk sering berlatih mengerjakan soal di rumah, ya!

Jika kamu tertarik untuk mengasah kemampuanmu di materi Vektor Matematika, Pijar Belajar adalah platform yang pas untukmu! Ratusan latihan soal bisa diakses di mana saja dan kapan saja setelah kamu berlangganan!

Yuk, unduh Pijar Belajar sekarang!