Rumus Determinan Matriks: Pengertian, Rumus & Contoh Soalnya

Kamu mungkin sudah cukup familiar dengan istilah matriks. Biasanya, istilah matriks akan kamu temui dalam materi pelajaran matematika. Nah, dalam operasi perhitungan matriks ini, kamu juga akan bertemu dengan istilah determinan matriks. Hayo, Sobat Pijar sudah tahu belum apa itu determinan matriks? 

Kalau belum, tak perlu khawatir karena sekarang kita akan bersama-sama memahami apa itu determinan matriks, rumus, dan contoh soalnya. Yuk, simak sama-sama! 

Baca juga: Pengertian Matriks, Jenis, dan Transpose Matriks

Pengertian Determinan Matriks

Determinan matriks merupakan suatu nilai yang dihitung dari unsur-unsur matriks persegi. Ingat, ya, hanya matriks persegi yang bisa dihitung determinannya. Kalo matriksnya enggak persegi, maka sudah pasti tidak akan punya determinan. Lalu apa sih sebenarnya matriks persegi itu?

Nah, yang dimaksud dengan matriks persegi adalah matriks yang jumlah kolom dan barisnya itu sama. Jadi kalau jumlah barisnya 2, jumlah kolomnya pun 2. Kalau jumlah barisnya 3, kolomnya pun harus tiga, begitupun seterusnya. Gimana, sudah cukup paham sampai sejauh ini? Oke mari kita lanjut!

Rumus Determinan Matriks

Setelah kamu paham dengan pengertiannya. Pasti kamu penasaran dong bagaimana, sih, rumus untuk menghitung determinan matriks ini? Akan tetapi, kamu harus tahu dulu, nih, kalau determinan dari suatu matriks itu biasanya akan ditulis dengan det A, det (A), ataupun det |A|.

Adapun rumus untuk menghitung determinan matriks ini akan bergantung dari ordo matriks yang dimilikinya. Sebab rumus determinan untuk ordo matriks 2x2 akan berbeda dengan ordo matriks 3x3. Nah biar makin paham, yuk mari kita bahas satu per satu.

1. Rumus Determinan Matriks Ordo 2x2

Misalkan saja kita punya sebuah matriks A berordo 2x2 sebagaimana berikut:

Nah dari matriks tersebut kita akan punya dua diagonal sebagaimana berikut:

• Diagonal utama: p dan s
• Diagonal kedua : q dan r

Determinan matriks ordo 2x2 dapat diperoleh dengan cara mengurangkan hasil kali diagonal utama dengan hasil kali diagonal kedua. Kalau dituliskan ke dalam rumus maka akan seperti ini :

2. Rumus Determinan Matriks Ordo 3x3

Berbeda dengan matriks ordo 2x2, pada matriks ordo 3x3 ini ada dua rumus yang bisa kamu gunakan untuk mencari nilai determinan pada suatu matriks. Pertama menggunakan aturan Sarrus dan kedua memakai metode minor kofaktor. Apa sih perbedaan keduannya? Yuk kita simak!

Misalkan nih kamu punya matriks Q berordo 3x3 sebagai berikut:

Seperti inilah rumus untuk menghitung determinannya menggunakan kedua metode tersebut

a. Aturan Sarrus

Untuk menggunakan aturan sarrus, kamu harus menambahkan kolom pertama yang berisikan a,d,g dan kolom kedua kedua yang berisikan b,e,h di sebelah matriks utama seperti berikut.

Setelah itu seperti menghitung determinan matrik pada ordo 3x3, kamu tinggal menjumlahkan seluruh perkalian diagonal utama kemudian dikurangkan penjumlahan matriks diagonal kedua seperti rumus berikut:

b. Aturan Minor-Kofaktor

Ada dua elemen yang harus dicari jika akan menggunakan aturan ini, pertama adalah Minor dan yang kedua adalah kofaktor. Untuk mencari nilai Minor maka kamu harus menghilangkan salah satu baris atau kolom terlebih dahulu. 

Misalnya nih kamu ingin menghilangkan baris nomor satu yang berisi a, b, dan c. Maka kamu akan memperoleh 3 minor dari matriks tersebut sebagaimana berikut:

Q11 yang berarti Minor kesatu atau M11 diperoleh dengan menghilangkan elemen di baris ke-1 dan kolom ke-1.

Q12 yang berarti Minor kesatu atau M12 diperoleh dengan menghilangkan elemen di baris ke-1 dan kolom ke-2.

Q13 yang berarti Minor kesatu atau M13 diperoleh dengan menghilangkan elemen di baris ke-1 dan kolom ke-3.

Selanjutnya kamu harus mencari nilai kofaktor yang biasanya dilambangkan dengan C atau K. Nilai ini bisa kamu dapatkan dengan rumus:

Maka dari rumus tersebut kita akan dapat tiga kofaktor sebagai berikut:

Setelah Minor dan Kofaktornya ketemu, maka kamu bisa menghitung nilai determinannya dengan rumus berikut:

Bagaimana, sudah paham sampai disini? Biar makin paham, nanti kita akan berikan contoh soal di bawah ya!

Sifat Determinan Matriks

Sebelum membahas contoh soal biar semakin paham. Kamu pun harus tahu loh kalau ternyata determinan matriks ini memiliki beberapa sifat yang penting diperhatikan. Jika X dan Y merupakan matriks berordo nxn, mak sifat dari determinan matriks bisa kita rangkum sebagai berikut:

• |XY| = |X| |Y|.
• |XT| = |X|, T: transpose matriks.
• |kX| = kn|X|, k: bilangan skalar/riil dan n: ordo matriks A.
• |X-1| = 1|X| (invers matriks).
• Jika ada baris atau kolom yang semua elemennya bernilai nol, maka determinan matriksnya adalah 0.
• Jika ada dua baris atau kolom yang elemennya sama ataupun merupakan kelipatannya, maka determinan matriksnya juga adalah 0.

Contoh Soal Determinan Matriks

Oke bagian ini pasti adalah salah satu yang paling kamu tunggu-tunggu. Mari kita bahas contoh soal untuk matriks yang memiliki ordo 2x2 ataupun 3x3.

1. Contoh Soal Determinan Matriks Ordo 2x2

Misalkan kita punya matriks A seperti berikut

Maka determinannya adalah

Jadi determinanya adalah 1

2.  Contoh Soal Determinan Matriks Ordo 3x3

Jika kita punya matriks X ordo 3x3 seperti berikut

Maka mari kita hitung determinannya menggunakan dua metode yang rumusnya sudah dijelaskan sebelumnya.

a. Aturan Sarrus

Untuk menggunakan aturan sarrus maka menggunakan rumus sarrus

Lalu terapkan pada soal 

Jadi determinan matriksnya adalah -1.

b. Aturan Minor-Kofaktor

Ikuti langkah pada rumus sebelumnya, maka kamu akan mendapati nilai Minor dan Kofaktor sebagaimana berikut:

Karena nilai Minor dan Kofaktor sudah didapatkan, maka sekarang kita masukan nilainya pada rumus yang dijelaskan sebelumnya:

Nah nilainya -1 juga ya. Ternyata baik itu menggunakan aturan Sarrus ataupun metode Minor-kofaktor hasilnya akan sama saja. Jadi silahkan saja pilih cara mana yang paling mudah.

Baca juga: Belajar Barisan dan Deret Geometri Matematika Kelas 11

______________________________________________________

Nah, itulah pembahasan mengenai determinan matriks yang perlu kamu ketahui. Setelah kamu paham akan definisi, rumus, sifat, dan beberapa contoh mengenai bagaimana menghitung determinan matriks. Tugas kamu selanjutnya adalah berlatih mengerjakan soal-soal lainnya supaya kamu bisa lebih paham lagi.

Jika Sobat Pijar ingin belajar materi pelajaran matematika lainnya lagi, kamu bisa membaca kontennya di Pijar Belajar. Ada banyak topik seputar matriks dan materi lengkap lainnya bisa kamu akses mulai dari 10 ribu saja! 

Yuk, download Pijar Belajar sekarang atau klik banner di bawah ini untuk mulai mengakses latihan soal Pijar Belajar sekarang!