Materi Eksponen: Definisi, Rumus, Sifat, dan Contoh Soalnya

Sobat Pijar, pernah lihat trend “Take it or double it and give it to next person” di media sosial, bukan? Jika orang pertama ditawari seratus ribu rupiah dan memilih untuk menggandakannya hingga orang kesepuluh, kira-kira orang kesepuluh tersebut akan dapat berapa banyak ya? 

Nah, buat tahu jawabannya, kamu bisa menggunakan bilangan eksponen. Bilangan eksponen adalah salah satu cara paling mudah untuk menjawab hasil perkalian berulang. 

Melalui tulisan ini, kamu akan mengetahui lebih jauh tentang bilangan eksponen. Termasuk definisi, bentuk umum, sifatnya, hingga persamaan dan pertidaksamaan bilangan eksponen. Yuk cari tahu lebih dalam di ulasan berikut ini!

Baca juga: Materi Kaidah Pencacahan Kelas 12: Pengertian, Rumus, Aturan, Contoh

Definisi Eksponen

Sebelum membahas lebih dalam tentang bilangan eksponen. Kamu perlu tahu dulu apa itu bilangan eksponen. Bisa dibilang, bilangan eksponen adalah bentuk dari sebuah bilangan yang dikalikan dengan bilangan yang sama berulang kali.

Dengan kata lain bilangan eksponen adalah perkalian yang diulang-ulang. Kamu juga bisa menyebut eksponen adalah pangkat yang menunjukkan nilai derajat kepangkatan.

Bentuk Umum Eksponen

Definisi eksponen juga bisa dibuat dalam bentuk rumus matematika. Seperti disebutkan sebelumnya, eksponen adalah bentuk perkalian dari suatu bilangan yang dilakukan berulang kali. Sehingga, jika dituliskan dalam bentuk rumus, bentuk umum eksponen adalah sebagai berikut:

$a^n=a.a.a.a.a. … .a$

Artinya, a dikalikan dengan a sebanyak n faktor. Sehingga, jika dijabarkan, bagian-bagian dari bentuk umum rumus eksponen adalah:

$a^n$ = a pangkat n. Di mana a adalah bilangan real dan n bilangan asli.

$a$ = bilangan pokok atau basis

$n$ = besar pangkat

Jika diperhatikan, bentuk umum eksponen adalah bentuk perkalian dari suatu bilangan pokok yang dikalikan dengan bilangan itu sendiri berulang kali. Sehingga, didapatkan bentuk an. Di mana n merupakan jumlah dari pengulangan perkalian bilangan a.

Sifat Sifat Eksponen

Ada 8 sifat eksponen yang perlu kamu ketahui. Sifat-sifat ini nantinya akan membantu kamu menyelesaikan kumpulan soal eksponen. Sifat-sifat eksponen adalah sebagai berikut:

1. Pangkat Penjumlahan

$a^m.a^n=a^{m+n}$

Apabila suatu bilangan yang sama dengan pangkat yang berbeda dikalikan, maka pangkat akan ditambah.

Contohnya,

$4^3.4^2=4^{3+2} = 4^5$

2. Pangkat Pengurangan

$a^m:a^n=a^{m-n}$

Apabila suatu bilangan yang sama dengan pangkat yang berbeda dibagi, maka pangkat akan dikurangi.

Contohnya,

$4^3:4^2=4^{3-2} = 4^1 = 4$

3. Pangkat Perkalian

$(a^{m})^2 = a^{m.n}$

Jika suatu bilangan berpangkat dipangkatkan dengan bilangan lain, maka pangkat akan dikalikan. Dengan kata lain, jika ada di dalam bentuk kurungan, maka pangkat di dalam kurungan dapat dikalikan dengan pangkat di luar kurungan.

Contohnya, 

$(4^{3})^2 = 4^{3.2}=4^6=4.096$

4. Perkalian Bilangan yang Dipangkatkan

$(a.b)^m=a^m.b^m$

Bila ada dua bilangan dalam kurungan yang diberi pangkat, maka dua bilangan tersebut memiliki pangkat yang sama.

Contohnya,

$(4.3)^2 = 4^2.3^2 = 16.9=144$

5. Pangkat pada Bilangan Pecahan

$(\frac{a}{b})^{m} = \frac{a^m}{b^m}$

Hal yang sama berlaku juga jika bilangan dalam kurungan eksponen adalah pecahan atau pembagian. Maka, penyebut dan pembilang memiliki pangkat yang sama. Dengan catatan, penyebut tidak boleh sama dengan 0.

Contohnya,

$(\frac{4}{2})^{2} = \frac{4^2}{2^2}=\frac{16}{4}=4$

6. Pangkat Negatif

$\frac{1}{a^n} = a^{-n}$

Maksud dari sifat ini dalam eksponen adalah jika suatu penyebut bernilai positif, kemudian ingin dipindahkan ke atas, maka pangkat dari penyebut tersebut akan bernilai negatif. Begitu juga sebaliknya.

Contohnya,

$\frac{1}{4^2} = 4^{-2}$ atau $4^{-2}=\frac{1}{16}$

7. Pangkat Pecahan

$\sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n}$

Dalam bentuk akar seperti ini, bentuk bilangan dapat disederhanakan menjadi pangkat berbentuk pecahan. Dengan n sebagai penyebut dan m sebagai pembilang. Dengan catatan, nilai n harus lebih besar atau sama dengan 2.

Contohnya,

$\sqrt[2]{3^4} = 3^\frac{4}{2}=3^2=9$

8. Pangkat Nol

$a^0=1$

Setiap bilangan berpangkat nol dalam eksponen adalah bernilai satu. Dengan catatan nilai a tidak boleh sama dengan nol.

Persamaan Eksponen

Setelah membahas eksponen dan sifatnya, selanjutnya kita akan membahas tentang persamaan eksponen kelas 10. Sederhananya, persamaan eksponen adalah suatu persamaan bilangan berpangkat yang memiliki variabel di bagian pangkatnya.

Karena memuat variabel, maka pangkat pada persamaan eksponen adalah sebuah fungsi. Sehingga, dalam rumusnya dituliskan sebagai f(x) atau g(x). Salah satu contoh bentuk persamaan eksponen adalah $5^{2x-4}=5^2$ .

Bentuk Umum Persamaan Eksponen

Karena itu, bentuk umum persamaan atau rumus eksponen dituliskan sebagai berikut:

$a^{f(x)}=a^{g(x)}$

Dengan a adalah bilangan pokok atau basis. Serta f(x) dan g(x) adalah pangkat atau eksponen.

Ciri utama dari persamaan eksponen adalah keberadaan variabel pada bagian pangkatnya. Sehingga, kalau variabel tidak berada pada bagian pangkat, persamaan tersebut tidak bisa disebut sebagai persamaan eksponen.

Sebagai gambaran, berikut ini contoh persamaan eksponen dan bukan persamaan eksponen:

$3^{x+1}=3^5$ → merupakan persamaan eksponen

$(2x+1)^{2x} = x^{x-1}$ → merupakan persamaan eksponen

$x^2+2=0$ → bukan persamaan eksponen karena variabel berada di bagian basis, bukan pangkat

Sampai sini, apakah kamu sudah bisa membedakan antara persamaan eksponen dan bukan persamaan eksponen?

Sifat Persamaan Eksponen

Pada pengembangannya, bentuk persamaan eksponen bisa sangat bervariasi. Karena itu, kamu bisa menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen agar lebih mudah menyelesaikan permasalahan terkait materi persamaan eksponen. Beberapa sifat persamaan eksponen adalah sebagai berikut:

1. Berlaku $f(x)=k$ , jika $a^{f(x)} = a^k$ dengan a>0 dan a≠1 

Jika basisnya memiliki nilai yang sama, maka pangkat basis pertama memiliki nilai yang sama dengan pangkat basis kedua.

2. Berlaku$f(x)=g(x)$ , jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ dengan a>0 dan a≠1 

Pada dasarnya, sifat kedua ini memiliki maksud yang sama dengan sifat pertama. Hanya saja, dalam sifat ini, kedua pangkatnya berupa fungsi x.

3. Berlaku $f(x)=0$ , jika $a^{f(x)}=b^{f(x)}$ dengan a>0 , a≠1 , b>0 , dan b≠1 

Dalam sifat ini, kedua pangkat memiliki bentuk eksponen yang sama, namun basisnya berbeda.

4. Jika $a^{f(x)}=b^{g(x)}$ , maka penyelesaian dapat dilakukan dengan menggunakan sistem algoritma

Jika basis dan pangkat keduanya tidak sama, maka penyelesaian dari soal persamaan eksponen adalah dengan menggunakan sistem algoritma.

Pertidaksamaan Eksponen

Saat membahas pertidaksamaan, maka kamu akan bertemu dengan simbol kurang dari, lebih dari, kurang dari sama dengan dan lebih dari sama dengan. Berbeda dengan persamaan, jawaban dari pertidaksamaan eksponen adalah lebih dari satu. Sehingga, bentuk penyelesaiannya dinyatakan dalam himpunan penyelesaian.

Bentuk Umum Pertidaksamaan Eksponen

Bentuk pertidaksamaan eksponen adalah terbagi menjadi dua. Yaitu jika bilangan pokok lebih dari satu dan jika bilangan pokok lebih dari nol namun kurang dari 1. Untuk masing-masing kondisi, bentuk pertidaksamaan eksponen adalah sebagai berikut:

1. Bilangan pokok lebih dari 1 ( $a>1$ )

Untuk setiap $a^{f(x)} < a^{g(x)}$ berlaku $f(x)<g(x)$

2. Bilangan pokok berada di antara nol dan 1 ( $0<a<1$ )

Untuk setiap $a^{f(x)} < a^{g(x)}$ berlaku $f(x)>g(x)$

Sifat Pertidaksamaan Eksponen

Pertidaksamaan eksponen juga memiliki beberapa sifat yang dapat membantu kamu menyelesaikan soal dengan mudah. Sifat-sifat ini juga terbagi menjadi dua kelompok sesuai dengan kondisi yang telah dijabarkan sebelumnya.

1. Untuk a≥1 

Untuk setiap a≥1 , sifat yang berlaku untuk pertidaksamaan eksponen adalah:

• $a^{f(x)} < a^{g(x)}\to f(x) < g(x)$
• $a^{f(x)} > a^{g(x)}\to f(x) > g(x)$
• $a^{f(x)} \le a^{g(x)}\to f(x) \le g(x)$
• $a^{f(x)} \ge a^{g(x)}\to f(x) \ge g(x)$

2. Untuk 0<a<1 

Kemudian, untuk setiap a>0 dan a<1 , sifat yang berlaku untuk pertidaksamaan eksponen adalah:

• $a^{f(x)} < a^{g(x)}\to f(x) > g(x)$
• $a^{f(x)} > a^{g(x)}\to f(x) < g(x)$
• $a^{f(x)} \le a^{g(x)}\to f(x) \ge g(x)$
• $a^{f(x)} \ge a^{g(x)}\to f(x) \le g(x)$

Contoh Soal Eksponen

Untuk lebih memahami konsep eksponen, berikut ini beberapa contoh soal eksponen dan jawabannya yang bisa kamu simak.

Contoh Soal 1

Selesaikan persamaan berikut ini: $2^{x+1}=3^{x-2}$

Pembahasan:

Karena variabel dan pangkat keduanya tidak sama, maka penyelesaian persamaan ini dapat menggunakan sistem logaritma. Sehingga, jawaban dari pertidaksamaan eksponen adalah:

$2^{x+1}=3^{x-2}$

$log 2^{x+1} =log 3^{x-2}$

$(x+1)log 2 =x-2log 3$

$x log 2 + log 2 =xlog 3 - 2 log 3$

$3log 3 = xlog 3 -xlog 2$

$xlog 3 -xlog 2 =3log 3$

$xlog 3 log 2 =3log 3   → alog a =1,$

sehingga,

x = $=log 2 log 3$

Contoh Soal 2

Nilai eksponen m yang memenuhi pertidaksamaan 3m+3>9m+1 adalah:

Pembahasan:

Sebelumnya, kamu harus menyamakan bilangan pokok pada pertidaksamaan tersebut. Sehingga, penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen adalah:

$3^{m+3}>9^{m+1}$

$3^{m+3}>(3^2)^{m+1}$

$3^{m+3}>(3)^{2(m+1)}$

$3^{m+3}>(3)^{2m+2}$

$m+3>2m+2$

$3-2>2m-m$

$1>m$ 

$m<1$ 

Contoh Soal 3

Suatu bakteri mengalami perkembangbiakkan dengan ketentuan $P_{n} < P_{0} (1+x)^n$. Bakteri tersebut mampu membelah diri sebanyak 2% dari ukuran sebelumnya setiap 30 menit sekali. Jika jumlah bakteri mula-mula 1.000 bakteri, maka berapa jumlah bakteri setelah 3 jam?

Pembahasan:

Sebelum menyelesaikan soal tersebut, pisahkan dulu hal yang diketahui dari soal. Yaitu $P_{0} = 1000$ dan $x=2$. Jika dikembangbiakkan selama 3 jam, artinya bakteri mengalami 6x pembelahan.

Sehingga, rumus pertidaksamaan eksponen adalah sebagai berikut:

$P_{n} < P_{0} (1+x)^n$

$P_6<1000 (1+0,02)^6$

$P_6<1000 (1,02)^6$

$P_6<1126$

Jadi semakin paham, ya, dengan materi eksponen ini. Coba asah pemahamanmu lebih jauh dengan mengerjakan latihan soal lainnya, yuk! Klik banner di bawah ini untuk mulai mengakses berbagai latihan soal lainnya di Pijar Belajar!

Baca juga: Pertidaksamaan dalam Matematika: Linear, Kuadrat, Pecahan, dan Akar

________________________

Nah, itulah pembahasan mengenai apa itu eksponen, sifat-sifat eksponen, hingga contoh soalnya. Salah satu cara terbaik untuk menguasai materi eksponen adalah dengan memperbanyak latihan soal. Dengan begitu, kamu akan terbiasa menemukan berbagai jenis soal dan pemanfaatan sifat-sifat eksponen dalam menyelesaikan soal.

Ingin melatih kemapuanmu dalam mengerjakan soal Matematika materi Eksponen ini? Langganan Pijar Belajar sekaran, yuk! Ada banyak sekali latihan soal Matematika yang bisa kamu akses, lho! Mulai dari materi kelas 10, kelas 11, hingga kelas 12 bisa kamu dapatkan dengan satu akun saja!

Tunggu apa lagi? Berlangganan Pijar Belajar sekarang juga!