Fungsi Kuadrat: Definisi, Rumus, dan Grafik

Sobat Pijar, pernah gak kamu melempar sebuah benda ke atas dan ingin mengetahui puncak tertinggi benda tersebut? Ternyata, kamu bisa menggunakan materi fungsi kuadrat lho untuk menghitungnya.

Dengan fungsi ini, kamu juga bisa menghitung puncak tertinggi dari kegiatan lompat jauh, lompat trampoline, dan lain sebagainya. Menarik, bukan? Jika penasaran mengenai materi fungsi kuadrat, yuk simak ulasan lengkapnya berikut ini.

Baca juga: Materi Fungsi Kelas 10 | Mengenal Pengertian & Jenis Fungsi Matematika

Materi Fungsi Kuadrat

Pengertian dari fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi polinomial atau suku banyak dimana pangkat tertinggi dari variable atau peubahnya adalah 2. Maka, bentuk umum dari fungsi kuadrat mendekati persamaan kuadrat. Selain fungsi, ada juga ciri-ciri dari fungsi kuadrat, yakni sebagai berikut:

• Bentuk umumnya yaitu $f(x) = ax^2 + bc + c$ dengan nilai a tidak boleh sama dengan nol.
• Fungsi kuadrat paling sederhana adalah $y = x^2$ dengan derajat tertinggi adalah 2.
• Apabila diplotkan dalam sistem koordinasi kartesian, maka bentuk grafiknya yakni parabola. Bentuknya bisa beragam, mulai dari landai hingga curam. Akan tetapi, bentuk dasarnya adalah U yang dapat membuka ke atas atau ke bawah tergantung nilai a.
• Mempunya titik balik minimum ataupun maksimum
• Terdapat sumbu simetri yang memotong parabola secara vertikal menjadi dua bagian.
• Mempunya diskriminan dengan rumus $D = b^2 = 4ac$

Rumus Fungsi Kuadrat

Apakah Sobat Pijar tahu, jika salah satu fungsi dalam ilmu matematika yang mirip dengan bentuk persamaan kuadrat adalah fungsi kuadrat. Misalnya, bentuk pada persamaan kuadrat adalah

$ax^2 + bx + c = 0$

Nah, untuk rumus persamaan fungsi kuadrat adalah sebagai berikut:

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Dengan keterangan sebagai berikut:

• $f(x)$ adalah fungsi kuadrat.
• $a$ serta b adalah koefisien.
• $c$ adalah konstanta.
• $x$ yakni sebagai variable.
• $a$ tidak sama dengan 0.

Dari rumus tersebut, bisa diketahui tentang bentuk dari fungsi kuadrat. Maka, untuk membuat gambar dari fungsi tersebut adalah dengan membuat tabelnya terlebih dahulu.

Misalnya, tabel fungsi kuadratnya adalah sebagai berikut:

Maka, gambar fungsi kuadrat berdasarkan tabelnya adalah sebagai berikut:

Grafik Fungsi Kuadrat

Nah, kini saatnya Sobat Pijar mengetahui apa itu grafik fungsi kuadrat, yaitu yaitu suatu grafik yang berguna untuk menguraikan gambaran dari fungsi kuadrat.

Kemudian, ciri-ciri grafik fungsi kuadrat bisa kamu simak seperti di bawah ini, ya Sobat Pijar!

• Memiliki grafik yang simetris.
• Bentuknya identik seperti parabola.
• Hanya memiliki titik minimum saja atau titik maksimum saja, tidak keduanya.
• Adanya $f(x)=y$ yang merupakan variabel terikat. Sementara itu, variabel bebasnya adalah $x$ , dan a serta b adalah koefisien yang variabel dengan pangkat paling tinggi yakni dua serta berbentuk persamaan.

Kemudian, grafik ini juga memiliki beberapa sifat serta cara menyusunnya, yaitu sebagai berikut:

1. Grafik Terbuka

Sifat yang satu ini grafiknya ditentukan oleh nilai f yang berfungsi untuk menentukan hasil ke arah bawah ataupun ke arah atas. Apabila a>0, maka grafiknya akan menampakkan atas.

Sementara itu, apabila nilai a<0, maka hasil grafiknya negatif atau ke bawah.

2. Titik Puncak

Sifat ini dapat kamu lihat ketika grafik memperlihatkan hasil ke bawah. Jadi, titik puncaknya berada pada titik maksimum. Kemudian, apabila grafik mengarah ke atas serta terbuka, maka minimum adalah titik puncaknya.

Apabila Sobat Pijar sudah mengetahui bahwa rumus fungsi kuadrat adalah $y = ax^2 + bx + c$, maka titik puncak grafik bisa kamu ketahui dengan rumus:

$(x_p, y_p) = (-\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a})$

Dengan keterangan:

$x_p$ = posisi titik puncak pada sumbu $x$

$y_p$ = posisi titik puncak pada sumbu $y$

$a$ = koefisien $x^2$

b = koefisien $x$

D = diskriminan

3. Sumbu Simetri

Titik puncak pada grafik akan terbagi menjadi dua bagian karena adanya sumbu simetri. Pada fungsi kuadrat, sumbu simetri ini berfungsi sebagai sebuah garis cermin pada titik grafik. Sumbu simetri dapat kamu hitung menggunakan rumus perhitungan sumbu x, yaitu:

$x = -\frac{b}{2a}$

4. Titik Potong Sumbu Y

Pengertiannya yakni titik yang akan memotong sumbu X. Grafik yang mempunyai sumbu ini umumnya akan memunculkan persamaan kuadrat.

5. Titik Potong Sumbu X

Sifat terakhir dari grafik fungsi kuadrat adalah titik potong sumbu X. 

Setelah memahami sifat-sifatnya, kini menggambarkan grafik menjadi lebih mudah. Adapun acara menyusun persamaan grafik fungsi kuadrat yakni sebagai berikut:

• Ketahui dulu tiga titik koordinat menggunakan persamaan $y - ax^2 + bx + c$
• Setelah itu, ketahui juga titik potong yang ada pada sumbu $x$ serta titik yang dilewatkan mengaplikasikan rumus $y = a(x - x_1)(x - x_2)$
• Ketahui pundak serta satu titiknya menggunakan rumus $y = a(x - x_1)^2 + y_p$

Soal Fungsi Kuadrat

Penjelasan di atas tentunya sudah cukup jelas, untuk lebih memahami fungsi kuadrat, simak contoh soal beserta penyelesaiannya berikut ini:

1. Contoh Soal 1

Diketahui jika grafik $y = 4x^2 + 2x - 12$. Maka, tentukanlah titik potong grafik pada sumbu x!

Jawab:

Grafik $y = 4x^2 + 2x - 12$ akan memotong sumbu $x$ apabila $y = p$ , maka:

$4x^2 + 2x - 12 = 0$

$(2x - 3)(2x + 4) = 0$

$2x - 3 = 0$ dan $2x + 4 = 0$

$2x = 3$ dan $2x = -4$

$x = 1\frac{1}{2}$ dan $x = -2$

Dengan demikian, titik potong grafik tersebut pada sumbu $x$ yakni $(1\frac{1}{2}, 0)$ dan (-2, 0)

2. Contoh Soal 2

Diketahui grafik $y = 2x^2 + x - 6$. Tentukanlah titik poting grafik pada sumbu $y$!

Jawab:

Grafik $y = 2x^2 + 6 - 6$ dan memotong sumbu $y$ apabila $x = 0$, maka:

$y = 2(0)^2 + 0 - 6$

Maka, $y$ adalah -6.

Dengan demikian, titik potong grafik tersebut pada sumbu $y$ adalah (0, -6).

3. Contoh Soal 3

Pabrik tekstil ingin memproduksi $x$ potong celana. Biaya produksi yang diperlukan dijabarkan dalam fungsi $B(x) = 3x^3 - 30x + 175$ dalam ratusan ribu rupiah. Lalu, hitunglah biaya minimum yang dibutuhkan dalam memproduksi celana tersebut.

Jawab:

$B(x) = 3x^3 - 30x + 175$ dapat diketahui jika nilai a dalah 3, nilai b adalah -30, dan nilai c adalah 175.

Maka, koordinat titik minimumnya bisa ditentukan menggunakan $P (-\frac{b}{2a} . \frac{D}{4a})$.

Untuk menjadi nilai x-nya, dapat menggunakan persamaan $x = -\frac{b}{2a}$, sehingga didapatkan:

$x = -\frac{b}{2a}$

Jadi, $x = -\frac{-(30)}{2(3)}$, sehingga didapat x dalah 5.

4. Contoh Soal 4

Pada suatu fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 - 8x + c$ dengan titik puncak (2, 3). Maka, tentukan nilai dari $f(3)$!

Jawab:

Substitusikan koordinat x di titik puncak pada rumus sumbu simetri. Hal ini berguna untuk mengetahui berapa nilai a, yaitu:

$2 = -\frac{b}{2a}$

$2 = -\frac{-(8)}{2a}$

$4a = 8$

$a = 2$

Dengan demikian, a adalah 2.

Kemudian, substitusikan nilai a dengan koordinat puncak, yakni (2,3) pada fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 - 8x + c$

Untuk mengetahui nilai c, dengan uraian sebagai berikut:

$2 = (2 \times 2^2) - (8 \times 2) + c$

Maka, $2 = 8 - 16 + c$. Dengan demikian nilai c adalah 10.

Kemudian, untuk menemukan nilai $f(3)$ dengan mensubtitusikan $x = 3$ dan nilai $a$ serta $c$ ke dalam $f(x) = ax^2 - 8x + c$, yaitu:

$f(3) = a(3)^2 - 8(3) + c$

$f(3) = (2 \times 3^2) - (8 \times 3) + 10$

$f(3) = 4$

Dengan demikian nilai f(3) adalah 4.

5. Contoh Soal 5

Pada persamaan $y = x^2 - 3x + 2$, maka tentukanlah koordinat titik potongnya terhadap sumbu $x$!

Jawab:

Koordinat titik potong pada persamaan tersebut terhadap sumbu x dapat diketahui jika y=0.

Maka, $0= x^2 - 3x + 2$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x - 2)(x - 1) = 0$

$x = 2$ atau $x = 1$

Dengan demikian, bisa didapatkan jika koordinat titik potong atas sumbu x dalam persamaan di atas adalah (2,0) dan (1,0)

Gimana? Apakah kamu bisa mengerjakan contoh soal di atas? Yuk, coba asah pemahamnmu melalui latihan soal fungsi kuadrat lainnya di Pijar Belajar. Coba klik banner di bawah ini untuk latihan soal lainnya, ya!

_________________________________

Baca juga: Operasi Matriks: Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian Beserta Contoh Soalnya

Itulah penjelasan yang menarik mengenai fungsi kuadrat yang lengkap dengan contoh soal serta penjelasannya yang tentu saja dijabarkan dengan jelas serta mudah dipahami.

Jika Sobat Pijar ingin memahami soal fungsi kuadrat yang satu ini, jangan lupa untuk terus berlatih bareng Pijar Belajar! Ada banyak sekali konten belajar dalam bentuk video, latihan soal, dan juga buku elektronik yang bisa kamu akses di mana saja dan kapan saja!

Yuk, unduh aplikasi Pijar Belajar sekarang juga!